Costruttori di Mondi

Ok ok @bwv582, per quanto mi riguarda ora sei andato troppo sul complicato ti scrivo la "formula" in termini più semplici visto che in pratica il problema diciamo, l'hai risolto che poi alla fine sto per dire la stessa cosa che hai detto te nel tuo penultimo messaggio... ma come te lo sto per scrivere secondo me è più semplice        

Il numero di triangoli rettangoli, triangoli equilateri, quadrati, rombi, e rettangoli, che si possono ottenere suddividendoli sempre nella stessa proporzione e mantenendo sempre la stessa forma, è uguale a: 1+4+4 alla seconda + 4 alla terza + 4 alla quarta... e avanti così all'infinito, sempre elevato ad n, poi n+1, n+2, n+3... ecc.
Ma per quanto riguarda il quadrato, il rettangolo, e il rombo, quel 4 potrebbe essere sostituito da un altro numero; quale?
E qual è quella forma "misteriosa"... insomma, l'unica che non si può dividere in quel modo??

Scusate se ho fatto un problema troppo banalotto...         


P.S. @bwv582 vorrei chiederti, a proposito dell'infinito, ma l'infinito comprende tutti... i numeri positivi o negativi, compresi i decimali??

Daniel P. ha scritto: Il numero di triangoli rettangoli, triangoli equilateri, quadrati, rombi, e rettangoli, che si possono ottenere suddividendoli sempre nella stessa proporzione e mantenendo sempre la stessa forma, è uguale a: 1+4+4 alla seconda + 4 alla terza + 4 alla quarta... e avanti così all'infinito, sempre elevato ad n, poi n+1, n+2, n+3... ecc.

A occhio, è quello che ho detto io, l'ho semplicemente scritto in una forma più raggruppata e ho rapportato il tutto al lato del triangolo iniziale (per quello c'è il radice di 3).

Daniel P. ha scritto: Ma per quanto riguarda il quadrato, il rettangolo, e il rombo, quel 4 potrebbe essere sostituito da un altro numero; quale?

Per il quadrato va bene ogni "quadrato", ovvero 4, 9, 16, ... rombo e rettangolo devo ragionarci.

Daniel P. ha scritto: P.S. @bwv582 vorrei chiederti, a proposito dell'infinito, ma l'infinito comprende tutti... i numeri positivi o negativi, compresi i decimali??

L'infinito in matematica è un concetto filosofico quanto l'infinito in filosofia o quello di Leopardi. L'infinito in sé, infatti, non è una quantità tant'è vero che in analisi (o già dal liceo scientifico) si definisce il concetto di infinito tramite varie perifrasi arzigogolate - del tipo che se pensi a un numero qualsiasi e qualsivoglia grande, aggiungi "1" e hai un numero ancora più grande - e di "infiniti" ce ne sono vari, sia come tipo che come concetto. L'infinito è più una meta irraggiungibile - per chi ha fatto lo scientifico, può pensare al concetto di limite e alle operazioni sui limiti -, un concetto o un idea, non è una quantità o un contenitore di altre quantità.
Potrei scrivere un papiro ed essere impreciso, ma intanto inizio con questo link per darti l'idea di cosa succede quando si parla di infinito
Spiegazione del paradosso di Hilbert: il Grand Hotel con infinite stanze (geopop.it)
a un sito che lo spiega bene, anche se lo spettacolarizzano un po' con immagini sostanzialmente inutili. C'è la pagina di wikipedia del paradosso dell'albergo di Hilbert, ma mi sembra più difficile e poco dettagliata. Sennò posso provarci anch'io in un post successivo.  

bwv582 ha scritto: Per il quadrato va bene ogni "quadrato", ovvero 4, 9, 16, ... rombo e rettangolo devo ragionarci. 

Mh... vabbè, comunque magari quel numero l'hai già trovato...  :)          

Ti manca solo la forma (l'unica credo) che secondo questo mio modo di divederla... rimane indivisibile  :)               

Penso che sia la stessa cosa o, in alternativa, non ho capito bene la richiesta.

Per il resto, se sai cosa intendo se ti dico corrispondenza biunivoca tra insiemi, posso anche iniziare a complicarti la testa parlandoti di infiniti.  

bwv582 ha scritto: Penso che sia la stessa cosa o, in alternativa, non ho capito bene la richiesta.

Per il resto, se sai cosa intendo se ti dico corrispondenza biunivoca tra insiemi, posso anche iniziare a complicarti la testa parlandoti di infiniti.  

Vabbè, faccio che dirtelo, l'altro numero che io avevo trovato da sostituire al numero 4, per quanto riguarda la forma del rettangolo, del quadrato, del rombo... e del triangolo rettangolo se non ricordo male, è il numero 9; che appunto è uno dei numeri che avevi già detto te.
Per quanto riguarda la forma "indivisibile", è facile...!  quella senza angoli diciamo  :D :hm:               

No, "corrispondenza biunivoca tra insiemi", non so cosa intendi  :D :hm:                   

Daniel P. ha scritto: Vabbè, faccio che dirtelo, l'altro numero che io avevo trovato da sostituire al numero 4, per quanto riguarda la forma del rettangolo, del quadrato, del rombo... e del triangolo rettangolo se non ricordo male, è il numero 9; che appunto è uno dei numeri che avevi già detto te.

Posso provare a spiegarti, diciamo a livello intuitivo e in breve, che il numero deve essere un quadrato (infatti avevo detto 4, 9, 16, ...).
Prendiamo l'esempio del rettangolo, per non citare sempre il solito triangolo equilatero o il semplice (?) quadrato.

Per avere una proporzione tra i lati di un rettangolo e quelli dell'originale, devi avere la stessa proporzione tra i lati. Per dire, se la base è due volte quella originale, deve esserlo anche l'altezza - e puoi dedurre che un rettangolo di questo tipo ha un'area pari a 4 volte l'originale (ti fidi di quello che dico? sì? no? ti va di provare a dimostrarlo o contraddirmi?).

Per fare in modo che suddividi il rettangolo originale, devi avere dei lati che siano, come dire, sottomultipli dei corrispettivi lati dell'originale. In altre parole possono essere pari a 1/2, 1/3, 1/4, ... dell'originale in modo da riempirlo con questi rettangoli minori.
Così facendo, trovi che l'area di questi rettangoli "derivati" è pari a (1/2)^2, (1/3)^2, (1/4)^2, ... dell'originale o, in modo analogo, che occorrono 4, 9, 16, ... rettangoli più piccoli per riempire l'originale.

Non è precisa come spiegazione, ma magari ti ho dato l'idea (per le leggi tra insiemi a una prossima puntata).
Intanto ho impiegato in modo interessante la pausa caffè.  

bwv582 ha scritto: Posso provare a spiegarti, diciamo a livello intuitivo e in breve, che il numero deve essere un quadrato (infatti avevo detto 4, 9, 16, ...).
Prendiamo l'esempio del rettangolo, per non citare sempre il solito triangolo equilatero o il semplice (?) quadrato.

Per avere una proporzione tra i lati di un rettangolo e quelli dell'originale, devi avere la stessa proporzione tra i lati. Per dire, se la base è due volte quella originale, deve esserlo anche l'altezza - e puoi dedurre che un rettangolo di questo tipo ha un'area pari a 4 volte l'originale (ti fidi di quello che dico? sì? no? ti va di provare a dimostrarlo o contraddirmi?).

Per fare in modo che suddividi il rettangolo originale, devi avere dei lati che siano, come dire, sottomultipli dei corrispettivi lati dell'originale. In altre parole possono essere pari a 1/2, 1/3, 1/4, ... dell'originale in modo da riempirlo con questi rettangoli minori.
Così facendo, trovi che l'area di questi rettangoli "derivati" è pari a (1/2)^2, (1/3)^2, (1/4)^2, ... dell'originale o, in modo analogo, che occorrono 4, 9, 16, ... rettangoli più piccoli per riempire l'originale.

Non è precisa come spiegazione, ma magari ti ho dato l'idea (per le leggi tra insiemi a una prossima puntata).
Intanto ho impiegato in modo interessante la pausa caffè.  

Mh... mi fido  :D :)         
Comunque parti sempre dal 4 e dal 9, no? Poi non so, non ho provato se si può fare con i multipli di questi due numeri; immagino di sì...   o comunque se vuoi partire da numeri più alti devi partire da 4 alla seconda ecc., e 9 alla seconda ecc. ...no?                   


La forma "indivisibile"... è il cerchio  sì, potresti dividerlo in altri cerchi concentrici... ma così diventano degli "anelli", non più dei cerchi intesi come "figure piene" diciamo.                


Ora, se vuoi, proponi il tuo problema  (...non troppo difficile eh?  :D :hm: )         

Daniel P. ha scritto: Comunque parti sempre dal 4 e dal 9, no? Poi non so, non ho provato se si può fare con i multipli di questi due numeri; immagino di sì...   o comunque se vuoi partire da numeri più alti devi partire da 4 alla seconda ecc., e 9 alla seconda ecc. ...no?  

4 e 9 perché 4 è 2^2 e 9 è 3^2, sono i primi quadrati dei numeri naturali. Quindi dico sempre 4 e 9 perché sono i quadrati di 2 e 3.

Se vuoi che propongo un problema, ne propongo uno costruttivo che, secondo me, è molto più fantasioso e interessante di quello che può sembrare.
Conosciamo l'area del triangolo - il classico "base per altezza diviso 2" (b*h/2) tanto per dire.
A partire dall'area del triangolo che conosciamo, troviamo dei modi per calcolare le aree di: quadrato, parallelogramma, rombo, rettangolo. Se vogliamo farla difficile, aggiungo esagono e trapezio. Non è raro che si ricavano le formule classiche per le aree alla fine dei conti.

bwv582 ha scritto: 4 e 9 perché 4 è 2^2 e 9 è 3^2, sono i primi quadrati dei numeri naturali. Quindi dico sempre 4 e 9 perché sono i quadrati di 2 e 3.

No, ma io il 3 non l'avevo proprio calcolato... cioè, adesso non riesco a postare i disegni  ma io li avevo rappresentati in questo modo:
1 + 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 ecc.
1 + 9 + 9^2 + 9^3 + 9^4 ecc.
cioè... 1 + 3 non c'è proprio nella mia rappresentazione...  magari io la faccio a livello più semplicistico, come dire... ma tant'è vero che... come fai a dividere un rettangolo in tre parti uguali?... o meglio, certo che puoi... ma in questo caso dovresti ruotare la posizione dei rettangoli di 90° all'interno dello stesso... e per suddividerlo poi in ancora più parti con la stessa proporzione, secondo me diventa in tal modo ancora più complicato, anzi non so proprio se vengono
Oppure, in quel caso, scervellandomi un po' diciamo  :D puoi dividerlo in 3 parti uguali, in quel modo... ma per rimanere della stessa proporzione il lato maggiore del rettangolo deve essere 3 volte il lato minore... o sbaglio?? O sto diventando ancora più pazzo??  :hm: ...

bwv582 ha scritto: Se vuoi che propongo un problema, ne propongo uno costruttivo che, secondo me, è molto più fantasioso e interessante di quello che può sembrare.
Conosciamo l'area del triangolo - il classico "base per altezza diviso 2" (b*h/2) tanto per dire.
A partire dall'area del triangolo che conosciamo, troviamo dei modi per calcolare le aree di: quadrato, parallelogramma, rombo, rettangolo. Se vogliamo farla difficile, aggiungo esagono e trapezio. Non è raro che si ricavano le formule classiche per le aree alla fine dei conti.

Allora, però l'area del triangolo che sappiamo già, si tratta di un triangolo rettangolo con i due cateti della stessa lunghezza, cioè triangolo rettangolo isoscele, no?
In questo caso (ma non sarà così, altrimenti ti ho dato una risposta troppo semplice...  :hm: ) l'area del quadrato sarà semplicemente il doppio dell'area di questo rettangolo... l'area del parallelogramma, il doppio dell'area di questo triangolo + l'area del quadrato... l'area del rombo, credo 4 volte l'area del triangolo... e l'area del rettangolo, dipende  se abbiamo un triangolo rettangolo isoscele, non lo so; altrimenti, nel caso avessimo un triangolo rettangolo, come si dice  con un cateto maggiore e uno minore... semplicemente... il doppio dell'area di quest'ultimo triangolo           

Ma non ci avrò azzeccato... mi sembra troppo semplice come risposta               


P.S. Ma a nessun altro piace la matematica in questo forum??  :hm:               

bwv582 ha scritto: Per fare in modo che suddividi il rettangolo originale, devi avere dei lati che siano, come dire, sottomultipli dei corrispettivi lati dell'originale. In altre parole possono essere pari a 1/2, 1/3, 1/4, ... dell'originale in modo da riempirlo con questi rettangoli minori.
Così facendo, trovi che l'area di questi rettangoli "derivati" è pari a (1/2)^2, (1/3)^2, (1/4)^2, ... dell'originale o, in modo analogo, che occorrono 4, 9, 16, ... rettangoli più piccoli per riempire l'originale.

Ciao Daniel, non credo ci sia molto interesse per la matematica in un forum dallo spirito opposto (*), ma non escludo che ci siano aspiranti scrittori e/o forti lettori in forum di matematica che, magari, restano nell'ombra.  
Scherzi a parte, riparto da questo mio commento per rispondere al tuo primo messaggio. Un rettangolo lo puoi suddividere in 4 rettangoli simili che hanno base e altezza pari alla metà dell'originale. Quindi se hai i lati di questa misura, l'area del rettangolo che ottieni è pari a 1/4 di quello originale.
Ragionamento simile se consideri lati pari a 1/3 dell'originale, in tal caso l'area è pari a 1/9 dell'originale.
In altre parole, se prendi, come proporzione, la metà, un terzo, un quarto della misura dei lati originale, hai un'area pari a 1/4, 1/9, 1/16 dell'originale, ovvero ci vogliono 4, 9, 16 rettangoli per riempire l'originale.
Ho il sospetto di averlo detto peggio, ma la risposta alla tua domanda sta nel passaggio che ho citato: per avere rettangoli simili che suddividano l'originale senza sforare devi avere, in proporzione, una frazione unitaria come misura dei lati. A livello di area e di numero di rettangoli, si arriva ai quadrati di cui parli tu.

Per il problema che ho proposto, in realtà è meno difficile e più creativo di quanto mi hai risposto. Forse non mi sono spiegato io, quello che intendo dire è che conosciamo l'area del triangolo in generale, non di un triangolo specifico in cui suddividere una forma geometrica.  
Si tratta di ricavare le formule delle aree dei quadrilateri (e non solo) citati da quella del triangolo o, in modo equivalente (e ti do un suggerimento qui), suddividendoli in triangoli per i quali sai come calcolare l'area.

(*) Ho il sospetto che stiamo andando molto OT in una discussione che, tra l'altro, nella pratica è privata tra di noi. Non so come la possono prendere i mod a lungo andare se continua così (in base al regolamento intendo).

bwv582 ha scritto:
Ciao Daniel, non credo ci sia molto interesse per la matematica in un forum dallo spirito opposto (*), ma non escludo che ci siano aspiranti scrittori e/o forti lettori in forum di matematica che, magari, restano nell'ombra.  

(*) Ho il sospetto che stiamo andando molto OT in una discussione che, tra l'altro, nella pratica è privata tra di noi. Non so come la possono prendere i mod a lungo andare se continua così (in base al regolamento intendo).

Mah, io ho iniziato la discussione in Agorà... però comunque io... azzardo, nel dire che ci vedo della "poesia" anche nella matematica per quel poco che so cioè io (sarò stralunato ) ma ci vedo creatività anche nella matematica  
Anzi, c'è matematica un po' dappertutto... anche nella musica, come te stesso saprai... nella cosiddetta metrica (sempre per quel poco che so... mi starò per fare una figuraccia... ) della composizione di poesie e canzoni...                           
E poi gli altri utenti hanno solo da partecipare eh?? Scusate...

Daniel P. ha scritto: E poi gli altri utenti hanno solo da partecipare eh?? Scusate...

Uno spunto: il concetto di derivata di una funzione attraverso l'altimetria di una tappa alpina del Giro d'Italia; spiegare perché nei massimi e minimi (valichi e fondovalle) la derivata prima è zero, la derivata seconda è minore o maggiore di zero, etc. etc. 

Un altro sugli integrali, da un passo di Quer pasticciaccio di Gadda (che mica per niente era ingegnere): "L'attimo della dolce angoscia fuggiva, oh, che altro può fare un attimo? Ma il succedente gli succedeva: l'integrale dei fuggenti attimi è l'ora, l'ora impareggiabile" e poi continua gaddando così per paginate intere.

Però ci vuole uno bravino nella divulgazione, io non sono in grado.

massimopud ha scritto: Però ci vuole uno bravino nella divulgazione, io non sono in grado.

Più che divulgazione, passiamo al significato geometrico della derivata e (credo) al significato geometrico dell'integrale. Il primo è un concetto che, bene o male, si fa in ogni scuola superiore, per l'integrale, però, credo solo allo scientifico. Nel senso che complichiamo molto la discussione.  

Ma non dovremmo risolvere prima il problema posto da bwv582?...

Daniel P. ha scritto: Ma non dovremmo risolvere prima il problema posto da bwv582?...

Prova, pensa che un quadrato si suddivide in due triangoli rettangoli isosceli, che un esagono si suddivide in sei triangoli equilateri, ...